Для решения многих инженерных задач часто требуется вычисление производных. Когда есть формула, описывающая процесс, сложностей никаких нет: берем формулу и вычисляем производную, как учили еще в школе, находим значения производной в разных точках, и всё. Сложность, наверное, только в этом и состоит, чтобы вспомнить, как вычислять производные. А как быть, если у нас есть только несколько сотен или тысяч строк с данными, а никакой формулы нет? Чаще всего именно так на практике и бывает. Предлагаю два способа.
Первый заключается в том, что мы наш набор точек аппроксимируем стандартной функцией Excel, то есть подбираем функцию, которая лучше всего ложится на наши точки (в Excel это линейная функция, логарифмическая, экспоненциальная, полиномиальная и степенная). Второй способ – численное дифференцирование, для которого нам нужно будет только умение вводить формулы.
Вспомним, что такое производная вообще:
Производной функции f(x) в точке x называется предел отношения приращения Δf функции в точке x к приращению Δx аргумента, когда последнее стремится к нулю:
Вот и воспользуемся этим знанием: будем просто брать для расчета производной очень маленькие значения приращения аргумента, т.е. Δx.
Для того, чтобы найти приближённое значение производной в нужных нам точках (а у нас точки – это различные значения степени деформации ε) можно поступить вот как. Посмотрим еще раз на определение производной и видим, что при использовании малых значений приращения аргумента Δε (то есть малых приращений степени деформации, которые регистрируются при испытаниях) можно заменить значение реальной производной в точке x0 (f’(x0)=dy/dx(x0)) на отношение Δy/Δx=(f (x0+ Δx) – f(x0))/Δx.
То есть вот что получается:
f’(x0) ≈(f (x0+ Δx) – f(x0))/Δx (1)
Для вычисления этой производной в каждой точке мы производим вычисления с использованием двух соседних точек: первая с координатой ε0 по горизонтальной оси, а вторая с координатой x0 + Δx, т.е. одна – производную в которой вычисляем и та, что поправее. Вычисленная таким образом производная называется разностной производной вправо (вперед) с шагом Δx.
Можем поступить наоборот, взяв уже другие две соседние точки: x0 – Δx и x0, т.е интересующую нас и ту, что левее. Получаем формулу для вычисления разностной производной влево (назад) с шагом –Δx.
f’(x0) ≈(f (x0) – f(x0– Δx))/Δx (2)
Предыдущие формулы были “левые” и “правые”, а есть еще одна формула, которая позволяет вычислять центральную разностною производную с шагом 2 Δx, и которая чаще других используется для численного дифференцирования:
f’(x0) ≈(f (x0+ Δx) – f(x0– Δx))/2Δx (3)
Для проверки формулы рассмотрим простой пример с известной функцией y=x3. Построим таблицу в Excel с двумя с столбцами: x и y, а затем построим график по имеющимся точкам.
Производная функции y=x3 это y=3x2, график которой, т.е. параболу, мы и должны получить с использованием наших формул.
Попробуем вычислить значения центральной разностной производной в точках х. Для этого. В ячейке второй строки нашей таблицы забиваем нашу формулу (3), т.е. следующую формулу в Excel:
Далее, воспользовавшись автозаполнением, копируем эту формулу во все нижние ячейки (тянем за нижнюю правую часть прямоугольника, который указывает на текущую ячейку):
Теперь строим график с использованием уже имеющихся значений х и полученных значений центральной разностной производной:
А вот и наша красненькая парабола! Значит, формула работает!
Ну а теперь можем перейти к конкретной инженерной задаче, про которую говорили в начале статьи – к нахождению изменения dσ/dε с увеличением деформации. Первая производная кривой «напряжение-деформация» σ=f(ε) в зарубежной литературе называется «скорость упрочнения» (strain hardening rate),а в нашей – «коэффициент упрочнения». Итак, в результате испытаний мы имеем массив данных, которой состоит из двух столбцов: один – со значениями деформаций ε и другой – со значениями напряжений σ в МПа. Возьмем холодную деформацию стали 1035 или наша 40Г (см. таблицу аналогов сталей) при 20°С.
| C | Mn | P | S | Si | N |
| 0.36 | 0.69 | 0.025 | 0.032 | 0.27 | 0.004 |
Вот наша кривая в координатах “истинное напряжение – истинная деформация” σ-ε:
Действуем так же, как и в предыдущем примере и получаем вот такую кривую:
Это и есть изменение скорости упрочнения по ходу деформации. Что с ней делать, это уже отдельный вопрос.
На этом все на сегодня.
Добавить комментарий